Los 178 saberes básicos de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2.º Bachillerato en Comunidad de Madrid

Operaciones.

Adición y producto de matrices: interpretación, comprensión y aplicación adecuada de las propiedades.

Cálculo de determinantes mediante la regla de Sarrus.

Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada mediante determinantes.

Estrategias para operar con números reales y matrices: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.

Relaciones.

Conjuntos de matrices: estructura, comprensión y propiedades.

Determinantes: definición y propiedades.

Matriz inversa: definición y propiedades.

Comprensión de las permutaciones, las combinaciones y las variaciones como técnicas de conteo.

Medición.

Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.

Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.

Cálculo de primitivas inmediatas simples y compuestas. Regla de Barrow.

La probabilidad como medida de la incertidumbre asociada a fenómenos aleatorios: interpretaciones subjetivas, clásica y frecuentista.

Cambio.

Límite de una función en un punto: cálculo gráfico y analítico. Resolución de ∞ indeterminaciones (0/0, k/0, ∞–∞, 1 ). Límites laterales.

Límite de una función en el infinito: cálculo gráfico y analítico. Resolución de indeterminaciones.

Determinación de las asíntotas de una función racional o de una función definida a trozos.

Estudio de la continuidad de una función (incluyendo funciones definidas a trozos). Tipos de discontinuidades.

Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites. Regla de L´Hôpital.

Derivación de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Reglas de derivación de las operaciones elementales con funciones y regla de la cadena.

Estudio de la derivabilidad de una función (incluyendo funciones definidas a trozos). Relación entre derivabilidad y continuidad de una función en un punto. Derivadas laterales.

Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma; cálculo de los coeficientes de una función para que cumpla una serie de propiedades.

La derivada como razón de cambio en resolución de problemas de optimización en contextos diversos.

Aplicación de los conceptos de límite y derivada a la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser modelizadas mediante funciones.

Obtención de extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento e intervalos de concavidad y convexidad de una función.

Teorema de Bolzano, Teorema del Valor Medio (caso particular es el Teorema de Rolle). Demostración del TVM.

Patrones.

Generalización de patrones en situaciones diversas.

Modelo matemático.

Relaciones cuantitativas en situaciones complejas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

Sistemas de ecuaciones: modelización de situaciones en diversos contextos.

Técnicas y uso de matrices para, al menos, modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones lineales o grafos.

Utilización de las matrices para representar datos estructurados y situaciones de contexto real.

Programación lineal: modelización de problemas reales y resolución mediante herramientas digitales.

Determinación gráfica de la región factible y cálculo analítico de los vértices de la misma, así como de la solución óptima.

Igualdad y desigualdad.

Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones, mediante cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, y con herramientas digitales.

Regla de Cramer para la resolución de sistemas compatibles (determinados o indeterminados) de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones en diferentes contextos.

Resolución de ecuaciones matriciales mediante el uso de la matriz inversa y mediante su transformación en un sistema de ecuaciones lineales.

Elementos de álgebra lineal.

Estudio del rango de una matriz que depende de un parámetro real por determinantes (a lo sumo de orden 3).

Teorema de Rouché-Frobenius para la discusión de un sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real.

Relaciones y funciones.

Representación, análisis e interpretación de funciones con herramientas digitales.

Propiedades de las distintas clases de funciones: comprensión y comparación.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos sencillas a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis (límites y derivadas).

Pensamiento computacional.

Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las Ciencias Sociales empleando las herramientas o los programas más adecuados.

Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Incertidumbre.

Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.

Teoremas de la probabilidad total y de Bayes: resolución de problemas e interpretación del teorema de Bayes para actualizar la probabilidad a partir de la observación y la experimentación y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Planteamiento y resolución de problemas que requieran del manejo de los axiomas de la probabilidad de Kolmogorov o del trazado de diagramas de Venn.

Planteamiento y resolución de problemas de contexto real que requieran del empleo de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes o del trazado de diagramas de árbol.

Distribuciones de probabilidad.

Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución. Distribuciones binomial y normal.

Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.

Condiciones bajo las cuales se puede aproximar la distribución binomial por la distribución normal.

Inferencia.

Conceptos de población y muestra. Parámetros poblacionales y estadísticos muestrales.

Selección de muestras representativas. Técnicas de muestreo. Representatividad de una muestra según su proceso de selección.

Estimación puntual y estimación por intervalo.

Estimación de la media, la proporción y la desviación típica. Aproximación de la distribución de la media y de la proporción muestrales por la normal.

Intervalos de confianza basados en la distribución normal: construcción, análisis y toma de decisiones en situaciones contextualizadas. Aplicación en la resolución de problemas.

Intervalo de confianza para la media de una distribución normal con desviación típica conocida. Cálculo del tamaño muestral mínimo.

Relación entre confianza, error y tamaño muestral.

Herramientas digitales en la realización de estudios estadísticos.

Lectura y comprensión de la ficha técnica de una encuesta.

Grado de relación entre dos variables estadísticas. Regresión lineal.

Actitudes.

Tratamiento y análisis del error, como elemento movilizador de conocimientos previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

Toma de decisiones.

Destrezas para evaluar diferentes opciones y tomar decisiones en la resolución de problemas.

Respeto.

Destrezas sociales y de comunicación efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas.

Valoración de la contribución de las Matemáticas y el papel de matemáticos a lo largo de la historia al avance de las Ciencias Sociales.

Operaciones.

Adición y producto de vectores y matrices: interpretación, comprensión y uso adecuado de las propiedades.

Potencia de una matriz: cálculo de la potencia de una matriz en situaciones cíclicas.

Cálculo de determinantes de orden no superior a 4 mediante la regla de Sarrus y el uso de las propiedades.

Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada mediante determinantes.

Producto escalar de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones.

Producto vectorial de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones.

Producto mixto de tres vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones.

Estrategias para operar con números reales, vectores y matrices: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.

Relaciones.

Conjuntos de vectores y matrices: estructura, comprensión y propiedades.

Determinantes: definición y propiedades.

Matriz inversa: definición y propiedades.

Medición.

Resolución de problemas que impliquen medidas de longitud, superficie o volumen en un sistema de coordenadas cartesianas.

Resolución de problemas que impliquen medida de ángulos en un sistema de coordenadas cartesianas.

Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.

Cálculo de áreas bajo una curva: técnicas elementales para el cálculo de primitivas.

Cálculo de primitivas inmediatas simples y compuestas. Integración de funciones racionales (con denominador de grado no superior a dos). Métodos de integración por partes y por sustitución (ejemplos sencillos de cambio de variable). Regla de Barrow.

Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas o volúmenes de revolución.

La probabilidad como medida de la incertidumbre asociada a fenómenos aleatorios: interpretación subjetiva, clásica y frecuentista.

Cambio.

Límite de una función en un punto: cálculo gráfico y analítico. Resolución de indeterminaciones (0/0, k/0, ∞–∞, 0·∞, 1 ∞ ). Límites laterales.

Límite de una función en el infinito: cálculo gráfico y analítico. Resolución de indeterminaciones.

Determinación de las asíntotas de una función racional o de una función definida a trozos.

Estudio de la continuidad de una función (incluyendo funciones definidas a trozos). Tipos de discontinuidades.

Uso del teorema de Bolzano para acotar las soluciones de una ecuación.

Conocimiento del resultado del teorema de los valores intermedios de Darboux.

Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites. Regla de L´Hôpital.

Derivación de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Reglas de derivación de las operaciones elementales con funciones y regla de la cadena. Derivación logarítmica.

Estudio de la derivabilidad de una función (incluyendo funciones definidas a trozos). Relación entre derivabilidad y continuidad de una función en un punto. Derivadas laterales.

Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma; cálculo de los coeficientes de una función para que cumpla una serie de propiedades.

Aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad a la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser modelizadas mediante funciones.

Obtención de extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento e intervalos de concavidad y convexidad de una función.

La derivada como razón de cambio en la resolución de problemas de optimización en contextos diversos.

Conocimiento de los resultados del teorema de Rolle y del teorema del valor medio de Lagrange.

Formas geométricas de dos y tres dimensiones.

Objetos geométricos de tres dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos.

Manejo de tetraedros y paralelepípedos en el espacio tridimensional.

Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el espacio representados con coordenadas cartesianas.

Planteamiento y resolución de problemas de geometría afín relacionados con la incidencia, el paralelismo y la ortogonalidad de rectas y planos en el espacio tridimensional.

Planteamiento y resolución de problemas de geometría métrica relacionados con la medida de ángulos entre rectas y planos y la medida de distancias entre puntos, rectas y planos.

Localización y sistemas de representación.

Relaciones de objetos geométricos en el espacio: representación y exploración con ayuda de herramientas digitales.

Expresiones algebraicas de los objetos geométricos en el espacio: selección de la más adecuada en función de la situación a resolver.

Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio tridimensional.

Construcción del plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior, así como del plano que contiene a dos rectas paralelas o secantes.

Construcción de la recta perpendicular común y de la recta que pasa por un punto y corta a dos rectas que se cruzan.

Lugares geométricos: plano mediador y planos bisectores.

Visualización, razonamiento y modelización geométrica.

Representación de objetos geométricos en el espacio mediante herramientas digitales.

Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos...) para resolver problemas en el espacio. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.

Conjeturas geométricas en el espacio: validación por medio de la deducción y la demostración de teoremas.

Estudio de la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio.

Estudio de la simetría en el espacio: punto simétrico respecto de otro punto, de un plano y de una recta; recta simétrica respecto de un plano; recta proyección ortogonal sobre un plano.

Modelización de la posición y el movimiento de un objeto en el espacio utilizando vectores.

Patrones.

Generalización de patrones en situaciones diversas.

Modelo matemático.

Relaciones cuantitativas en situaciones complejas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

Sistemas de ecuaciones: modelización de situaciones en diversos contextos.

Técnicas y uso de matrices para, al menos, modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones lineales o grafos.

Utilización de las matrices para representar datos estructurados y situaciones de contexto real.

Igualdad y desigualdad.

Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones, mediante cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, y con herramientas digitales.

Regla de Cramer para la resolución de sistemas compatibles (determinados o indeterminados) de, como máximo, tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Resolución de sistemas de ecuaciones en diferentes contextos.

Resolución de ecuaciones matriciales mediante el uso de la matriz inversa y mediante su transformación en un sistema de ecuaciones lineales.

Elementos de álgebra lineal.

Dependencia e independencia lineal de conjuntos de vectores en el espacio.

Expresión de un vector como combinación lineal de otros vectores.

Estudio del rango de una matriz, a lo sumo de orden 4, que dependa de uno o varios parámetros reales.

Teorema de Rouché-Frobenius para la discusión de un sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real.

Relaciones y funciones.

Representación, análisis e interpretación de funciones con herramientas digitales.

Propiedades de las distintas clases de funciones: comprensión y comparación.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis (límites y derivadas).

Pensamiento computacional.

Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología empleando las herramientas o los programas más adecuados.

Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices, los determinantes y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Incertidumbre.

Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia entre sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.

Teoremas de la probabilidad total y de Bayes: resolución de problemas e interpretación del teorema de Bayes para actualizar la probabilidad a partir de la observación y la experimentación y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Planteamiento y resolución de problemas que requieran del manejo de los axiomas de la probabilidad de Kolmogorov o del trazado de diagramas de Venn.

Planteamiento y resolución de problemas de contexto real que requieran del empleo de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes o del trazado de diagramas de árbol.

Distribuciones de probabilidad.

Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución.

Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.

Distribución binomial: definición, parámetros y cálculo de probabilidades en casos en que los números combinatorios implicados sean sencillos.

Distribución normal: definición, parámetros y cálculo de probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar.

Aproximación de la binomial a la normal. Correcciones de Yates.

Resolución de problemas que requieran de estos modelos de probabilidad en situaciones de contexto real o en contextos científicos y tecnológicos.

Actitudes.

Tratamiento y análisis del error, como elemento movilizador de conocimientos previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

Toma de decisiones.

Destrezas para evaluar diferentes opciones y tomar decisiones en la resolución de problemas y tareas matemáticas.

Inclusión, respeto y diversidad.

Destrezas de comunicación efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas.

Valoración de la contribución de las Matemáticas y el papel de matemáticos a lo largo de la historia en el avance de la ciencia y la tecnología.